Longitud
de un Rollo
J.
Ignacio Ulacia F. (19.10.1993, rev
2.11.2005)
En la industria es
comun que los materiales de manufactura se
provean en rollos. Estos pueden ser de
acero, papel, cartoncillo, polietileno,
poliester, polipropileno, entre
otros.
Una problematica
con estos materiales es el saber que
longitud tiene un rollo de cierto
diametro. El problema sucede cuando
despues de haber consumido una longitud
del material este se almacena y se pierde
la longitud real del rollo. En uso
posterior es necesario el poder
cuantificar la cantidad del material para
fines de inventario o proceso posterior.
En caso de materiales que absorben la
humedad es imposible usar valores del peso
ya que cambiaran con las condiciones
climatologicas - como sucede con el
papel.
Este documento
presenta una formula que permite saber el
resultado conociendo solamente el diametro
final del rollo (Df), el
diametro del centro al borde donde empieza
el material (Di), el
espesor del material (h), PI
es la constante 3.141592653.
Lt
= (PI/4h) •
[(Df2 -
Di2)]
Para usar esta
formula recuerde que el espesor del
material este en las mismas dimensiones
que los diametros usados para la medicion.
Normalmente el espesor del material se
obtiene con un calibrador o tornillo
micrometrico en decimas o centesimas de
milimetro, mientras que las dimensiones de
los diametros en centimetros.
Por ejemplo: Un
rollo de etiquetas autoadheribles tiene un
diametro externo de 19.35 cm, y un nucleo
de 3" que en su parte externa es de 8.3
cm. El espesor del material es de 0.16
milimetro = 0.016 cm. Substituyendo los
valores se obtiene una longitud aproximada
de 14,997.8 cm ó 150 m.
Esta formula se
puede usar para cualquier tipo de material
donde su espesor sea constante. El
material tiene que estar suficientemente
apretado como para eliminar cualquier
espacio entre las vueltas.
Matematicamente se
puede llegar al resultado de dos maneras
distintas. Uno es considerando que el
rollo se comporta como un material
continuo y se puede obtener mediante una
integral. El segundo metodo es el de
considerar una expansion numerica de una
serie. A continuacion se presentan los dos
metodos.
Metodo
Integral
Consideremos
que una vuelta de material esta
dado por el perimetro o el radio
de la vuelta.
L
= PI • 2 •
r
En
terminos diferenciales, el area
de integracion acotada por una
superficie diferencial es la
misma que se obtendia integrando
la longitud con el espesor del
material o aquella que se obtiene
integrando el radio. Como se
muestra en la figura
siguiente
donde
h es el espesor del
material, dL - es el
incremento de longitud, r
- el radio del rollo, y
dr - es el incremento en
diametro por cada
vuelta.
El
diametro final es la integral de
esta formula con limites
inferiores y
superiores
h
• integral (dL) = PI •
integral (r • dr)
h
L [Lt,0] = ¹
(r2)/2
[Df/2,Di/2]
donde
Lt - es la
longitud total del material,
Df - Diametro
externo, h - espesor del
material, Di -
Diametro interno al borde del
material.
Rearreglando
la ecuacion y substituyendo los
limites se obtiene la siguiente
formula.
Lt
= (PI/4h) •
[(Df2 -
Di2)]
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Expansion
en Series
Numericas
La
longitud final del rollo sera la
suma de las longitudes de cada
vuelta.
Lt
= L1 + L2 +
L3 + ... +
Ln
donde
Lt - es la longitud total,
L1 - longitud de la
primera vuelta, L2 -
longitud de la segunda vuelta,
L3 - longitud de la
tercera vuelta, Ln -
longitud de la ultima
vuelta.
La
longitud de cada vuelta
es
Ln
= PI •
Dn
donde
Ln es longitud
de la vuelta n, PI
- 3.1415926,
Dn diametro de
la circunferencia de la vuelta
n.
El
diametro esta relacionado con la
cantidad de vueltas y el espesor
del material.
Dn
= Di + 2 • n
• h
Donde
Dn es el
diametro de la vuelta n,
h el espesor del
material.
Asi
la longitud total sera una suma
de todas las longitudes
individuales de cada
vuelta
Lt
= PI • [
(Di+2(1)h) +
(Di+2(2)h) +
(Di+2(3)h) + ...
(Di+2(n)h)
]
reacomodando
Lt
= PI • [ n Di
+ 2 • h
(suma(1,2,3,...n))]
suma
(1,2,3, ... , n) = n •
(n+1)/2
Lt
= PI [ n •
Di + 2 • h •
n •
(n+1)/2]
de
la ecuacion del diametro se puede
despejar el valor de n =
(Df -
Di)/2h y
substituirlo en nuestra ecuacion.
Df es el
diametro final. Despues de
arreglos matematicos llevamos al
resultado
Lt
= (PI/4h) •
[(Df2 -
Di2) + h
• (Df
-Di)]
Debido
a que el ultimo termino dentro
del parentesis esta multiplicado
por una cantidad muy
pequeña que es el espesor
del material h, para fines
practicos se puede
despreciar.
Asi
llegamos a la misma
ecuacion.
Lt
= (PI/4h) •
[(Df2 -
Di2)]
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