Longitud de un rollo sabiendo el diámetro

J. Ignacio Ulacia F. (19.10.1993, rev 2.11.2005)

En la industria es común que los materiales de manufactura se provean en rollos. Estos pueden ser de acero, papel, cartoncillo, polietileno, poliéster, polipropileno, entre otros.

Una problemática con estos materiales es el saber que longitud tiene un rollo de cierto diámetro. El problema sucede cuando después de haber consumido una longitud del material este se almacena y se pierde la longitud real del rollo. En uso posterior es necesario el poder cuantificar la cantidad del material para fines de inventario o proceso posterior. En caso de materiales que absorben la humedad es imposible usar valores del peso ya que cambiaran con las condiciones climatológicas - como sucede con el papel.

Este documento presenta una formula que permite saber el resultado conociendo solamente el diámetro final del rollo (Df), el diámetro del centro al borde donde empieza el material (Di), el espesor del material (h), PI es la constante 3.141592653.

Lt = (PI/4h) • [(Df2 - Di2)]

Para usar esta formula recuerde que el espesor del material este en las mismas dimensiones que los diámetros usados para la medición. Normalmente el espesor del material se obtiene con un calibrador o tornillo micrometrico en décimas o centésimas de milímetro, mientras que las dimensiones de los diámetros en centímetros.

Por ejemplo: Un rollo de etiquetas autoadheribles tiene un diámetro externo de 19.35 cm, y un núcleo de 3" que en su parte externa es de 8.3 cm. El espesor del material es de 0.16 milímetro = 0.016 cm. Substituyendo los valores se obtiene una longitud aproximada de 14,997.8 cm ó 150 m.

Esta formula se puede usar para cualquier tipo de material donde su espesor sea constante. El material tiene que estar suficientemente apretado como para eliminar cualquier espacio entre las vueltas.

Matemáticamente se puede llegar al resultado de dos maneras distintas. Uno es considerando que el rollo se comporta como un material continuo y se puede obtener mediante una integral. El segundo método es el de considerar una expansión numérica de una serie. A continuación se presentan los dos métodos.

Método Integral

Consideremos que una vuelta de material esta dado por el perímetro o el radio de la vuelta.

L = PI • 2 • r

En términos diferenciales, el área de integración acotada por una superficie diferencial es la misma que se obtenida integrando la longitud con el espesor del material o aquella que se obtiene integrando el radio. Como se muestra en la figura siguiente

Área diferencial

donde h es el espesor del material, dL - es el incremento de longitud, r - el radio del rollo, y dr - es el incremento en diámetro por cada vuelta.

El diámetro final es la integral de esta formula con limites inferiores y superiores

h • integral (dL) = PI • integral (r • dr)

h L [Lt,0] = ¹ (r2)/2 [Df/2,Di/2]

donde Lt - es la longitud total del material, Df - Diámetro externo, h - espesor del material, Di - Diámetro interno al borde del material.

Rearreglando la ecuación y substituyendo los limites se obtiene la siguiente formula.

Lt = (PI/4h) • [(Df2 - Di2)]

Expansión en Series Numéricas

La longitud final del rollo será la suma de las longitudes de cada vuelta.

Lt = L1 + L2 + L3 + ... + Ln

donde Lt - es la longitud total, L1 - longitud de la primera vuelta, L2 - longitud de la segunda vuelta, L3 - longitud de la tercera vuelta, Ln - longitud de la ultima vuelta.

La longitud de cada vuelta es

Ln = PI • Dn

donde Ln es longitud de la vuelta n, PI - 3.1415926, Dn diámetro de la circunferencia de la vuelta n.

El diámetro esta relacionado con la cantidad de vueltas y el espesor del material.

Dn = Di + 2 • n • h

Donde Dn es el diámetro de la vuelta n, h el espesor del material.

Asi la longitud total será una suma de todas las longitudes individuales de cada vuelta

Lt = PI • [ (Di+2(1)h) + (Di+2(2)h) +

(Di+2(3)h) + ... (Di+2(n)h) ]

reacomodando

Lt = PI • [ n Di + 2 • h (suma(1,2,3,...n))]

suma (1,2,3, ... , n) = n • (n+1)/2

Lt = PI [ n • Di + 2 • h • n • (n+1)/2]

de la ecuación del diámetro se puede despejar el valor de n = (Df - Di)/2h y substituirlo en nuestra ecuación. Df es el diámetro final. Después de arreglos matemáticos llevamos al resultado

Lt = (PI/4h) • [(Df2 - Di2) + h • (Df -Di)]

Debido a que el ultimo termino dentro del paréntesis esta multiplicado por una cantidad muy pequeña que es el espesor del material h, para fines prácticos se puede despreciar.

Asi llegamos a la misma ecuación.

Lt = (PI/4h) • [(Df2 - Di2)]